파동 방정식(Wave Equation)은 물리 음향학에서 소리의 전파를 수학적으로 설명하는 핵심적인 방정식입니다. 이는 소리(또는 다른 형태의 파동)가 매질을 통해 어떻게 이동하는지를 기술하며, 음향학뿐만 아니라 전자기학, 유체역학, 광학 등 다양한 물리학 분야에서도 널리 사용됩니다.
파동 방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$
여기서:
이 방정식은 매질 내에서 파동이 시간과 공간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명합니다.
매질 내 밀도의 변화와 입자 속도의 관계를 나타냅니다. $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$
매질 내 압력 경도와 가속도의 관계를 나타냅니다. $$\rho_0 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla P$$
압력 $P$와 밀도 $\rho$ 사이의 선형적 관계를 나타냅니다. $$P = c^2 (\rho - \rho_0)$$
관(Tube) 내부나 줄(String)의 진동처럼 1차원 공간에서의 전파는 다음과 같이 단순화됩니다:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
이 방정식의 일반해(D'Alembert의 해)는 진행파와 반사파의 합으로 표현됩니다: $$u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)$$
여기서:
자유 공간(Free Field)에서의 파동은 직교 좌표계에서 다음과 같이 확장됩니다:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$$
이는 구형파(Spherical Wave)나 평면파(Plane Wave)가 3차원 공간에서 어떻게 에너지를 전달하는지 분석하는 기초가 됩니다.